等位基因的组合数目

假定某种形状(比如豌豆花的颜色)由一对等位基因控制,其中显性基因用字母表示,隐性基因用字母表示。显而易见,我们一共有三种可能的基因型:,分别对应红色、粉色和白色。如果某个等位基因一共有种可能的变异,即: (1)   那么一共有多少种可能的基因型呢(注意基因型 和 是一样的)? 这个问题看上去很简单,但是我自己却迷惑了很长一段时间。最后我终于认识到:在阅读 William Feller 老爷爷的概率书的这段时间里,自己在经过了相当多的训练之后,已经习惯性的去考虑样本空间内每一个样本的概率是相等的情形了,从这一点讲,那么很明显我们一共有 种基因组合的结果。但是问题是这些组合虽然每一个出现的概率相等,但是其中却有一些重复;等到我们把重复的合并以后,剩下的样本出现的概率却不相等了。具体来讲,纯合的基因型: (2)   要比杂合的基因型 (3)   出现的概率要低。具体到豌豆花的例子,也就是白色和红色出现的概率分别是 25%,而粉色出现的概率是50%。在领悟到这一点之后,前面给出的题目就很容易计算了:当某个等位基因一共有种可能的变异的时候,我们可以把所有的可能的组合排成一个 的表格,其中对角线上的基因型是纯合的,一共有个,而非对角线上的基因型是杂合的,一共有 种。考虑到杂合的基因型每种都会出现两次,那么所有不同的基因型一共有: (4)   这和William Feller 老爷爷书中给出的答案完全一致。

音乐欣赏的两个对比

以前自己都是只会打开音响听音乐,自从自己开始弹琴以后,才慢慢悟出来音乐欣赏这里面还有两个有趣的对比:第一,同样一首歌曲,听别人弹和听自己亲手弹出来的感觉,后者带来的愉悦要大得多,听着旋律与和声跟随着自己手指的动作流淌出来,即使是很简单的曲目,也很享受,要是别人弹,可能就会觉得这旋律很简单,没什么特别的。第二,钢琴想要弹到别人觉得好听要比自己觉得好听难得多,常常一段旋律自己弹得摇头晃脑,乐在其中,可是家人已经听过无数遍了,早已听得滚瓜烂熟,耳朵起茧了。 看来要想领会音乐的妙处,自己动手实践是一个好办法呀。

十二平均律频率推导

最近看了一些音乐理论特别是十二平均律方面的文章,澄清了很多自己以前觉得不甚了了的地方,写一篇文章来记录一下吧。总体来讲,这些音乐理论用到的数学知识都是比较简单的,但是需要死记硬背的名词却很多。 人们平时听到的声音的高低取决于声音的频率。音源的振动频率越高,发出的声音就越高。对应到常见的弦乐器,弦越短振动频率就越高。 频率是一个连续的数值,这对应着无穷多个音,但是人们在创作音乐作品的时候并不会全部使用,那样的话只会产生噪音。人类的听觉有一个奇妙的特性:当同时听到两个频率的单音的时候,人们会根据这两个频率之间的比例来决定听到的声音是否和谐。如果两个音的频率完全一样,或者是简单的倍数关系,那么人们就会认为这两个声音完全和谐。除开1:1或者 2:1这样最简单的关系,还有一些频率比例也会让人们认为是非常和谐的,其中最著名的就是 2:3 (音乐上把这样两个音的关系称为纯五度,不过这里就不展开讲了)。下面是引自 Plomp & Levelt (1965) 的一张关于和谐程度与频率关系的图。 图中可以看到,几个最为和谐的比例是 1:2,2:3,3:4。如果我们要找到一组频率作为单音,然后穷举它们中所有可能的一对单音,大部分都能够形成一个比较和谐的音响效果,而这一组单音又不要太多的话,那么12是一个非常合适的选择:太少的话形成的音乐太单调,太多的话人的记忆力有限,很不方便使用。这也是十二平均律中的12这个关键数字的来源。 有了12这个数字以后,下面的问题就是一个简单的等比数列求解了。假定我们选定一个基准频率 ,和它完全和谐的倍频,然后我们把这个频率段分为12等分,一共有13个数,分别是: (1)   同时相邻的两个数的比值都是固定的,假定为,我们还有: (2)   这里一共有 12个变量和12个方程,把上面的各项方程乘在一起就可以得到: (3)   有了以后,各个频率就可以表示如下: (4)   通常人们选定 A 的频率为 440Hz,这样就可以推算出所有其他音的频率了。 在笔者看来,12平均律的最大问题是它的纯五度没有完全达到3:2的频率比例,准确的说,它的第一个音和第七个音之间的频率比例是: (5)   和完全和谐的1.5还是有一些差距,这样导致它的单音旋律与五度相生法生成的旋律相比不够和谐,但是也有人宣称这中间的区别人耳是听不出来的,也就见仁见智吧。

英文音乐术语中英对照(Music Terms in English and Chinese)

harmonic intervals (音程): two notes played together. chords(和弦): three or more notes played together. scale(音阶): a set of musical notes ordered by fundamental frequency or pitch.  Due to the principle of octave equivalence, scales are generally considered to span a single octave, pentascale(五声音阶): five notes scale. triad(三和弦): three-note chords. broken chords(分解和弦): A chord broken into […]

国际政治是受伤害最深的学科

今天在网上闲逛,偶尔看见《小县城的中年粉红:在混吃等死中研究世界局势》一文,下面一段文字倒是激起了我很多共鸣: 在两个多小时的边吃边聊中,我不时感叹,信息技术革命,手机上网普及,最受伤害的学科是国际政治。国际政治的文章大多数是叙述性的,不需要抽象和精深的理论,初中毕业就读得懂。国际政治的信息碎片在网上遍地都是,拿起扫帚随便扫一扫,就能扫一箩筐。以至于国际政治如今已成门槛最低的公共话题。但是,聊世界局势,逼格却很高。 作者的观察很准确呀,现在YouTube上纵论国际政治的中文自媒体越来越多,不就是一个活生生的证据吗。无论是“文昭谈古论今”、“王剑每日观察”,还是“stone 记”,话题都是围绕着国际政治展开。按照文章作者的说法,这些才是真正的聪明人: 复旦名嘴张维为、人大教授金灿荣、局座张召忠、” 至道学宫 ” 创办人 …… 才是这个时代最具 ” 顶级智慧 ” 的人。面对如此庞大的粉红群体,你既然改变不了他们,何不利用他们赚钱呢? 自己还是应该把自己力所能及的事情做好,有所学习,有所长进。国际政治这么高水平的学科,就留给有兴趣又有能力的人们吧。

Citrus Leafminer

后院的橘子树经过我的精心照料,生长的郁郁葱葱,即使是在夏天,也发出了很多嫩绿的新叶,看得我很高兴。可是几周之前我吃惊的发现,大部分新长出来的叶子上都有了一种奇怪的图案,不知道是病毒还是细菌,很多新叶就这样扭曲、枯萎和脱落了,让我大为心痛。我还把受到侵害的叶子拿给太太看,她也是大吃一惊,不知道是何方邪恶生物,可以制造出这样可怕的犯罪场景。 看着越来越多的新叶受到侵害,我终于下定决心研究一下这到底是怎么回事。我把 “Orange Tree Disease” 放到Google图片里面搜索一下,结果很快就找到了很多讲述这个问题的网站,原来这是一种叫做 Citrus Leafminer 的小虫子,专门在橘子树的新叶子里面打洞,最后变成成虫飞走了。 令人感到欣慰的是,文章说这种小虫子造成的损害很小,绝大部分时候都不需要任何处理:因为它只能侵害新叶,老叶子比较坚固,不受影响,所以只有你的树是新栽种的情况下才需要操心,否则没有什么大不了的。文章建议不要使用杀虫剂,也不要剪去受损的树叶(因为这不是由细菌或者病毒引起,不会传染)。文章甚至建议为了避免这种害虫过度繁殖,应该避免夏天给橘子树上太多肥料,这样树就不会发出太多新叶而招致害虫。 文章的作者很达观,对于这种虫害基本上采用放任自流的观点。我看完文章以后也放心多了。 🙂

排列组合的新思路

排列就是从一个Population 中有序的采样(Sample),组合就是从一个Population中 无序的采样。无论哪种采样,基本的排列组合公式 和 都假定Population 中的每一个对象是可以区分的。但是对于Population 中存在不可区分对象的情况(比如 Sampling with Replacement),我们就需要新的思路。我自己对于这个关键的区别一直没有很深刻的理解,直到最近读 William Feller 老爷爷的概率书,才有了一些进展,下面来说一说。 假定一个长度为 的二进制字符串,其中有个1的字符串有多少? 这个问题中,Population就是 0 和 1,但是它们可以重复出现在最终的采样中,因此简单的排列组合思路并不适用。解决这个问题有两种传统的思路: 思路一:假定我们在这 个字符串中 挑选 个 1,然后剩下的全部是0,那么可供挑选的总共方案是: (1)   思路二:假定所有的0和1都是可以区分的,那么所有总共可能的方案就是 种,其中有 个1 和 个0。如果这个1互相可以区分,那么它们总共有 的不同的排列方式,相应的对于这些可以区分的0我们也有 种不同的排列方式。现在这些0和1都变成不可区分的了,所以这些不同的排列方式就变成了一种,那么长度为 的二进制字符串,其中有个1的字符串就有: (2)   这正好就是思路一中的组合数公式,因此两种思路的结果是一样的。 上面的第二种思路讲述起来要比第一种长很多,但是我反而觉得更容易理解,其主要原因是因为它和组合数的公式推导的思路本身就是一致的。组合基本问题:从 个可以互相区分的对象中,取出个对象的不同组合(也就是不考虑这个对象的顺序)有多少?很明显如果我们考虑这个对象的顺序,不同的顺序代表不同的组合的话,那么我们一共有: (3)   种不同的方案,这是一个基本的排列问题。现在考虑 个不同的对象有多少种不同的排列方式,很明显这也是个基本的排列问题,答案是 种。现在我们看到,如果相同的个对象的不同排列方式只能算作同一种组合的话,那么 3 对于所有可能的组合就高估了 倍,因此从 个可以互相区分的对象中,取出个对象的不同组合(也就是不考虑这个对象的顺序)就有: (4)   沿着这个新思路,我们可以解决一些新的排列组合题目,下面是一些例子。 假定有面不同的旗帜,要挂在 个旗杆上,一共有多少悬挂的方法? 很明显第一面旗帜有 种悬挂的方法,注意到有旗帜的那个旗杆现在如果我们要在上面再挂新的旗帜的话,有上面和下面两种选择,所以第二面旗帜有 […]

从电子灭蚊灯到刺激消费和拉动经济

家里有一个电子灭蚊灯,花了 $60 在 Amazon 上买的。挂在后院里,一到夏天晚上,总是啪啪作响,替我们消灭了很多小蚊虫。Ben 第一次看见这个东西消灭小虫子的时候吓坏了,一下子躲到妈妈的怀里。后来过来很久我问起他这件事情,他还是记忆犹新,跟我讲小飞虫的眼睛一下子变得通红,整个身子都着了火,还发出啪啪的声音和冒出烟味,What the hack! 孩子的眼里看世界还真是不一样。 🙂 前两天Yetao过生日,很多小朋友到家里来玩,结果有个小朋友把灭蚊灯一下子从架子上撞下来掉到地上摔得七零八落,盖子都掉了。我有点心疼,毕竟买一个新的还是挺贵的,但是我试着装了几次都没有装好。正好今天下午没有什么事情,我就拿来工具仔细研究,看看这个东西是不是还能修好。一来二去,结果还真的修好了,插上电源灯就又发出蓝莹莹的光,让我很高兴。废物利用的感觉真是好。 想起上学的时候和宿舍同学有过一次讨论,他跟我讲需求是经济发展的动力,只有大家不停的更新换代,生产过程和经济循环才能持续,所以节俭不是一个好的习惯,应该全力消费才对,总而言之,就是要刺激消费,拉动经济。我当时对他的这套理论大吃一惊,因为从穷苦日子过来,总觉得节俭是一项巨大的美德,从来没有想过还可以从这个角度考虑问题。这么多年我常常回想起那一番讨论,现在也渐渐明白其中的漏洞所在:根本上来讲,地球是有限的,人类的生产生活已经给环境制造了巨大的压力,消费总有一个上限;通过刺激人的欲望来增加经济的总量,恐怕从人与自然和谐相处以及可持续发展的角度来讲,长远来看很难说是一件好事。 从这一点上来讲,我花点时间修好了摔坏的灭蚊灯,而不是简单的把它扔进垃圾筐然后买一个新的,也算是践行了自己的信念吧。