分离变量法求解与时间无关的薛定谔方程

假定在基本的波动方程

    \[i h \dfrac {\partial \Psi}{\partial t} = - \dfrac{h^2}{2m} \dfrac{{\partial}^2 \Psi}{{\partial} x^2}+ V \Psi\]

中势能与时间无关,也就是:

    \[V = V(x)\]

我们就可以尝试使用分离变量法求解波动方程,即假定

    \[\Psi(x, t) = \psi(x) \varphi(t)\]

这样我们就有:

    \[\dfrac{\partial \Psi}{\partial t} = \psi \dfrac{d \varphi}{dt}\]

    \[\dfrac{\partial \Psi}{\partial x} = \varphi \dfrac{d \psi}{dx}\]

注意偏微分都已经变成了常微分。

把上述微分带入到波动方程中,我们有:

    \[ih \psi \dfrac{d \varphi}{dt} = - \dfrac{h^2}{2m} \dfrac{d^2 \psi}{dx^2} \varphi +V\psi\varphi\]

两边都除以 \psi\varphi, 我们就得到了:

    \[ih \dfrac{1}{\varphi} \dfrac{d \varphi}{dt} = - \dfrac{h^2}{2m} \dfrac{d^2 \psi}{dx^2} \dfrac{1}{\psi} +V(x)\]

注意到左面是一个关于时间t的方程,右面是一个关于空间x的方程,这两边能够相等,肯定是因为它们都是常数,也就是:

    \[ih \dfrac{1}{\varphi} \dfrac{d \varphi}{dt} = E\]

    \[- \dfrac{h^2}{2m} \dfrac{d^2 \psi}{dx^2} \dfrac{1}{\psi} +V(x) = E\]

到这里已经很清楚了,\psi的形式和势能V有关,而 \varphi的形式是一定的,即:

    \[\varphi(t) = e^{-\dfrac{iEt}{h}}\]