分离变量法求解与时间无关的薛定谔方程

假定在基本的波动方程

$i h \dfrac {\partial \Psi}{\partial t} = - \dfrac{h^2}{2m} \dfrac{{\partial}^2 \Psi}{{\partial} x^2}+ V \Psi$

中势能与时间无关，也就是：

$V = V(x)$

我们就可以尝试使用分离变量法求解波动方程，即假定

$\Psi(x, t) = \psi(x) \varphi(t)$

这样我们就有：

$\dfrac{\partial \Psi}{\partial t} = \psi \dfrac{d \varphi}{dt}$

$\dfrac{\partial \Psi}{\partial x} = \varphi \dfrac{d \psi}{dx}$

注意偏微分都已经变成了常微分。

把上述微分带入到波动方程中，我们有：

$ih \psi \dfrac{d \varphi}{dt} = - \dfrac{h^2}{2m} \dfrac{d^2 \psi}{dx^2} \varphi +V\psi\varphi$

两边都除以 $\psi\varphi$ , 我们就得到了：

$ih \dfrac{1}{\varphi} \dfrac{d \varphi}{dt} = - \dfrac{h^2}{2m} \dfrac{d^2 \psi}{dx^2} \dfrac{1}{\psi} +V(x)$

注意到左面是一个关于时间t的方程，右面是一个关于空间x的方程，这两边能够相等，肯定是因为它们都是常数，也就是：

$ih \dfrac{1}{\varphi} \dfrac{d \varphi}{dt} = E$

$- \dfrac{h^2}{2m} \dfrac{d^2 \psi}{dx^2} \dfrac{1}{\psi} +V(x) = E$

到这里已经很清楚了， $\psi$ 的形式和势能V有关，而 $\varphi$ 的形式是一定的，即：

$\varphi(t) = e^{-\dfrac{iEt}{h}}$