error function

昨天做 《Introduction to Quantum Mechanics》上的一道题目,即归一化下面的波函数:

    \[\Psi(x, t) = A e^{-a(\dfrac{mx^2}{h} + it)}\]

搞了一会儿,才发现自己不会计算 e^{-x^2} 的不定积分:熟悉的积分计算规则全部都用不上!上网查了一会,才发现这就是大名鼎鼎的 Error Function:

    \[erf(x) = \dfrac{2}{\sqrt \pi} \int_0^{x} e^{-t^2}dt\]

它的图像是:

这是一个不能用初等解析函数表示的函数,在统计学和量子力学中有着广泛的应用。对于我上面的问题,根据归一化的基本要求我们有:

    \[\int_{-\infty}^{+\infty} |\Psi|^2 dx = A^2 \int_{-\infty}^{+\infty} e^{\dfrac{-2amx^2}{h}} dx = 1\]

如果我们假定:

    \[u = \sqrt{\dfrac{2am}{h}} \cdot x\]

那么:

    \[dx = \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{2am}{h}}} \cdot du\]

按照erf 的形式展开有:

    \[\begin{split} 1 &= \int_{-\infty}^{+\infty} |\Psi|^2 dx = A^2 \int_{-\infty}^{+\infty} e^{\dfrac{-2amx^2}{h}} dx \\ &= A^2 \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(\sqrt{\dfrac{2am}{h}} \cdot x)^2} dx \\ &= A^2 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{2am}{h}}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-u^2} du \\ &= \dfrac{\sqrt \pi}{2} A^2 \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{2am}{h}}} \cdot \dfrac{2}{\sqrt \pi} erf(u) \Biggr |_{-\infty}^{+\infty} \\ &= \dfrac{\sqrt \pi}{2} A^2 \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{2am}{h}}} \cdot 2 \end{split}\]

这样就计算出

    \[A = \sqrt \sqrt{\dfrac{2am}{h \pi}}\]