继续持有或者换一种股票，哪一个更划算？

假定我现在有 Google 的股票100万，但是我发现 Amazon 的股票涨势更好，我是不是应该卖掉 Google 股票，换成 Amazon 的股票呢？

这个问题看上去挺简单，实际上却有多种因素的作用在里面，我最近跟一个投资股票市场多年的朋友请教了一下，算是有了一些理解。

最简单的，既然 Amazon 股票涨得更好，那当然应该卖掉 Google 股票，换成 Amazon 的股票。

可是接下来我又想到，把现在的 Google 股票卖掉本身就要交税，只能用剩下的钱去买 Amazon 股票，这样一来虽然 Amazon 的股票涨势更好，但是基数却更小，这样下来一定划算吗？

再进一步，即使基于持有 Google 股票将来总数更高，但是要交税的部分也更高（因为换成 Amazon 股票的时候就已经交过一部分税了），这样下来即使总数更高也不一定划算吧？

朋友帮我列了一个公式计算如下：

假定我现在 Google 股票有 100，其中 50 是原有资本， 50 是截至目前为止需要交税的 Capital Gain。另外，假定 Capital Gain 部分的税率是 20%，假定未来一年里 Google 股票的涨幅是 $x$ ，Amazon 股票的涨幅是 $y$ ，那么：

如果不卖掉股票，那么未来一年持有的股票总额是：

$100 + 100x$

如果一年以后立刻卖掉的话，到手的收益是：

$((100 + 100x) - 50) \times (1 - 20 \%) + 50$

如果现在立即卖掉股票，到手数目是：

$50 + 50 \times (1 - 20 \%) = 90$

这也是可以买到的 Amazon的股票数目，那么一年以后持有的股票总额是：

$90 + 90y$

如果一年以后立即卖掉Amazon股票，到手数目是：

$90 + 90y \times (1 - 20 \%)$

由此，如果我们需要股票换手更划算，就是要求：

$90 + 90y \times (1 - 20 \%) > ((100 + 100x) - 50) \times (1 - 20 \%) + 50$

求解以后得到：

$y > \dfrac{10}{9} x$

更一般的，如果假定现有股票中 cost basis 是 $a$ ，capital gain 是 $b$ ，个人所得税的税率是 $p$ ，那么想要股票换手不亏的话，我们需要：

$(a + b + (a+b)x - a) (1-p) + a < a + b (1-p) + (a+b(1-p)) y (1-p)$

简化以后即可得到：

(1) $\begin{equation*} \dfrac{y}{x} > \dfrac{a+b}{a+b-bp} \end{equation*}$

换手之后是否亏损，虽然 $y$ 和 $x$ 是线性关系，但是和 $a$ ， $b$ ， $p$ 都是非线性相关。特别的，如果现在的股票总额中capital gain （也就是 $b$ ）占的比重越多，或者 tax 的税率越高，那么对于换手去的那只股票的增长幅度就要求更高，这也符合我们的直觉。