十二平均律频率推导

最近看了一些音乐理论特别是十二平均律方面的文章,澄清了很多自己以前觉得不甚了了的地方,写一篇文章来记录一下吧。总体来讲,这些音乐理论用到的数学知识都是比较简单的,但是需要死记硬背的名词却很多。

人们平时听到的声音的高低取决于声音的频率。音源的振动频率越高,发出的声音就越高。对应到常见的弦乐器,弦越短振动频率就越高。

频率是一个连续的数值,这对应着无穷多个音,但是人们在创作音乐作品的时候并不会全部使用,那样的话只会产生噪音。人类的听觉有一个奇妙的特性:当同时听到两个频率的单音的时候,人们会根据这两个频率之间的比例来决定听到的声音是否和谐。如果两个音的频率完全一样,或者是简单的倍数关系,那么人们就会认为这两个声音完全和谐。除开1:1或者 2:1这样最简单的关系,还有一些频率比例也会让人们认为是非常和谐的,其中最著名的就是 2:3 (音乐上把这样两个音的关系称为纯五度,不过这里就不展开讲了)。下面是引自 Plomp & Levelt (1965) 的一张关于和谐程度与频率关系的图。

图中可以看到,几个最为和谐的比例是 1:2,2:3,3:4。如果我们要找到一组频率作为单音,然后穷举它们中所有可能的一对单音,大部分都能够形成一个比较和谐的音响效果,而这一组单音又不要太多的话,那么12是一个非常合适的选择:太少的话形成的音乐太单调,太多的话人的记忆力有限,很不方便使用。这也是十二平均律中的12这个关键数字的来源。

有了12这个数字以后,下面的问题就是一个简单的等比数列求解了。假定我们选定一个基准频率 f,和它完全和谐的倍频2f,然后我们把这个频率段分为12等分,一共有13个数,分别是:

(1)   \begin{equation*} f, x_1, x_2, x_3, ..., x_{11}, 2f \end{equation*}

同时相邻的两个数的比值都是固定的,假定为r,我们还有:

(2)   \begin{equation*} \begin{split} &\dfrac{x_1}{f} = r \\ &\dfrac{x_2}{x_1} = r \\ &\dfrac{x_3}{x_2} = r \\ & ... \\ & ... \\ &\dfrac{x_{11}}{x_{10}} = r \\ &\dfrac{2f}{x_{11}} = r \end{split} \end{equation*}

这里一共有 r, x_1, x_2, ..., x_{11} 12个变量和12个方程,把上面的各项方程乘在一起就可以得到:

(3)   \begin{equation*} \begin{split} & r^{12} = 2 \\ & r = 2 ^ \dfrac{1}{12} \end{split} \end{equation*}

有了r以后,各个频率就可以表示如下:

(4)   \begin{equation*} \begin{split} &x_1 = f \times 2 ^ {\dfrac{1}{12}} \\ &x_2 = f \times 2 ^ {\dfrac{2}{12}} \\ &x_3= f \times 2 ^ {\dfrac{3}{12}} \\ & ... \\ & ... \\ &x_{11} = f \times 2 ^ {\dfrac{11}{12}} \end{split} \end{equation*}

通常人们选定 A 的频率为 440Hz,这样就可以推算出所有其他音的频率了。

在笔者看来,12平均律的最大问题是它的纯五度没有完全达到3:2的频率比例,准确的说,它的第一个音和第七个音之间的频率比例是:

(5)   \begin{equation*} 2^{\dfrac{7}{12}} = 1.49830707688... \end{equation*}

和完全和谐的1.5还是有一些差距,这样导致它的单音旋律与五度相生法生成的旋律相比不够和谐,但是也有人宣称这中间的区别人耳是听不出来的,也就见仁见智吧。