组合数学中的采样(Sample)问题 (三):组合分析计算概率的关键是所有基本事件的概率应该相等

组合分析是概率论的基础。特别的,在利用组合分析计算某个事件的概率时,我们需要确保所有基本事件的概率是相等的。这一点在我刚刚开始学习概率组合分析的时候并不明显,现在经过 William Feller 老爷爷的一番教育,终于开窍了。下面试举两例。

扔一个6面的骰子,每一面出现的概率都是 \dfrac{1}{6},而且这些基本事件的概率是相等的。从这个基础出发,我们可以计算很多与掷骰子有关的概率问题。

桥牌中5张红心在两个敌手之间有三种可能的组合:0-5,1-4 和 2-3。虽然 Partition Number With k-Part Constraint  可以告诉我们总共可能的组合有三种,但是这三种结果的概率并不相同,所以在这里组合分析必须依赖 可以区分的对象和可以区分的组 一文中的技术,否则将会误入歧途。

问题一:6个骰子出现至少一个1点和12个骰子出现至少两个1点,哪个概率大?

六个骰子的所有可能的结果是 6^6 种,1点从不出现的所有可能的结果是5^6 ,所以至少出现一个1点的概率是:

(1)   \begin{equation*} 1 - \dfrac{5^6}{6^6} = 0.6651020233196159 \end{equation*}

十二个骰子的所有可能的结果是 6^{12} 种,1点从不出现的所有可能的结果是5^{12},1点出现一次的概率是 12 \times 5^{11},(第一个因子12 表示从12个骰子中挑出一个,让它的结果是1点,这一共有12种可能。第二个因子 5^{11} 表示剩下的11个骰子每一个都可以从 2、3、4、5、6 这5个数字中任意选择),所以至少出现两个1点的概率是:

(2)   \begin{equation*} 1 - \dfrac{5^{12} + 12 \times 5^{11}}{6^{12}} = 0.6186673737323087 \end{equation*}

6个骰子出现至少一个1点的概率要大一些,虽然直觉告诉我们这两种相等。 🙁

问题二:桥牌中5张红心在两个敌手之间三种可能的组合:0-5,1-4 和 2-3 的概率分别是多大?

正如前面我们所说的,我们把这5张红心当作不同的牌,两个敌手也当作可以区分的对象,那么总共可能的分配是:0-5, 1-4, 2-3, 3-2, 4-1, 5-0 这么六种,0-5 和5-0 分配的总共可能方案是:

(3)   \begin{equation*} \dfrac{5!}{0!5!} + \dfrac{5!}{5!0!} = 2 \end{equation*}

类似的,1-4 和 4-1 分配的总共可能方案是:

(4)   \begin{equation*} \dfrac{5!}{1!4!} + \dfrac{5!}{4!1!}  = 10 \end{equation*}

而 2-3 和 3-2 分配的总共可能方案是:

(5)   \begin{equation*} \dfrac{5!}{2!3!} + \dfrac{5!}{3!2!} = 20 \end{equation*}

总共可能的方案是:

(6)   \begin{equation*} 2 + 10 + 20 = 32 = 2^5 \end{equation*}

所以这三种情况的概率分别是:

  • 0-5:\frac{1}{16} = 6.25\%
  • 1-4:\frac{5}{16} = 31.25\%
  • 2-3:\frac{5}{8} = 62.5\%

红心 1-4 分配的概率比我想象中要高啊。 🙁