十二平均律频率推导

最近看了一些音乐理论特别是十二平均律方面的文章,澄清了很多自己以前觉得不甚了了的地方,写一篇文章来记录一下吧。总体来讲,这些音乐理论用到的数学知识都是比较简单的,但是需要死记硬背的名词却很多。

人们平时听到的声音的高低取决于声音的频率。音源的振动频率越高,发出的声音就越高。对应到常见的弦乐器,弦越短振动频率就越高。

频率是一个连续的数值,这对应着无穷多个音,但是人们在创作音乐作品的时候并不会全部使用,那样的话只会产生噪音。人类的听觉有一个奇妙的特性:当同时听到两个频率的单音的时候,人们会根据这两个频率之间的比例来决定听到的声音是否和谐。如果两个音的频率完全一样,或者是简单的倍数关系,那么人们就会认为这两个声音完全和谐。除开1:1或者 2:1这样最简单的关系,还有一些频率比例也会让人们认为是非常和谐的,其中最著名的就是 2:3 (音乐上把这样两个音的关系称为纯五度,不过这里就不展开讲了)。下面是引自 Plomp & Levelt (1965) 的一张关于和谐程度与频率关系的图。

图中可以看到,几个最为和谐的比例是 1:2,2:3,3:4。如果我们要找到一组频率作为单音,然后穷举它们中所有可能的一对单音,大部分都能够形成一个比较和谐的音响效果,而这一组单音又不要太多的话,那么12是一个非常合适的选择:太少的话形成的音乐太单调,太多的话人的记忆力有限,很不方便使用。这也是十二平均律中的12这个关键数字的来源。

有了12这个数字以后,下面的问题就是一个简单的等比数列求解了。假定我们选定一个基准频率 f,和它完全和谐的倍频2f,然后我们把这个频率段分为12等分,一共有13个数,分别是:

(1)   \begin{equation*} f, x_1, x_2, x_3, ..., x_{11}, 2f \end{equation*}

同时相邻的两个数的比值都是固定的,假定为r,我们还有:

(2)   \begin{equation*} \begin{split} &\dfrac{x_1}{f} = r \\ &\dfrac{x_2}{x_1} = r \\ &\dfrac{x_3}{x_2} = r \\ & ... \\ & ... \\ &\dfrac{x_{11}}{x_{10}} = r \\ &\dfrac{2f}{x_{11}} = r \end{split} \end{equation*}

这里一共有 r, x_1, x_2, ..., x_{11} 12个变量和12个方程,把上面的各项方程乘在一起就可以得到:

(3)   \begin{equation*} \begin{split} & r^{12} = 2 \\ & r = 2 ^ \dfrac{1}{12} \end{split} \end{equation*}

有了r以后,各个频率就可以表示如下:

(4)   \begin{equation*} \begin{split} &x_1 = f \times 2 ^ {\dfrac{1}{12}} \\ &x_2 = f \times 2 ^ {\dfrac{2}{12}} \\ &x_3= f \times 2 ^ {\dfrac{3}{12}} \\ & ... \\ & ... \\ &x_{11} = f \times 2 ^ {\dfrac{11}{12}} \end{split} \end{equation*}

通常人们选定 A 的频率为 440Hz,这样就可以推算出所有其他音的频率了。

在笔者看来,12平均律的最大问题是它的纯五度没有完全达到3:2的频率比例,准确的说,它的第一个音和第七个音之间的频率比例是:

(5)   \begin{equation*} 2^{\dfrac{7}{12}} = 1.49830707688... \end{equation*}

和完全和谐的1.5还是有一些差距,这样导致它的单音旋律与五度相生法生成的旋律相比不够和谐,但是也有人宣称这中间的区别人耳是听不出来的,也就见仁见智吧。

英文音乐术语中英对照(Music Terms in English and Chinese)

  • harmonic intervals (音程): two notes played together.
  • chords(和弦): three or more notes played together.
  • scale(音阶): a set of musical notes ordered by fundamental frequency or pitch.  Due to the principle of octave equivalence, scales are generally considered to span a single octave,
  • pentascale(五声音阶): five notes scale.
  • triad(三和弦): three-note chords.
  • broken chords(分解和弦): A chord broken into a sequence of notes.
  • arpeggios(琶音和弦): A special type of broken chords in which the notes that compose a chord are played in a rising or descending order.
  • Suspension triads(不和谐三和弦):比如 C-D-G or C-F-G.
  • Harmonic triads(和谐三和弦):比如 C-E-G.
  • Major Scale(大调音阶): A Major scale is made of 7 notes, and the eights duplicates the first at double its frequency so that it is called a higher octave of the same note. The sequence of intervals between the notes of a major scale is: whole, whole, half, whole, whole, whole, half
  • Minor Scale(小调音阶): This usually means natural minor scale. The intervals between the notes of a natural minor scale follow the sequence below: whole, half, whole, whole, half, whole, whole.
  • Related Scales( 关系音阶):The two scales use the same notes but with different root, like C major and A Minor, they both use (A, B, C, D, E, F, G), but the root of C Major is C, and root of A minor is A.  From the sharps and flats on scores we can NOT tell which scale it is, but observing the root is usually easily tell.
  • The perfect fifth (纯五度): In music theory, a perfect fifth is the musical interval corresponding to a pair of pitches with a frequency ratio of 3:2, or very nearly so. A perfect fifth interval contains 7 half steps. For example, C-G
  • The perfect fourth(纯四度):In music theory, a perfect fourth is the musical interval corresponding to a pair of pitches with a frequency ratio of 4:3, or very nearly so. A perfect fourth interval contains 5 half steps. For example, C-F。
  • Tonic(主音), also called keynote, in music, the first note (degree) of any diatonic (e.g., major or minor) scale. It is the most important degree of the scale, serving as the focus for both melody and harmony.

先慢后快,是练习曲目的第一要素

这是很简单的道理,但是实践中却很容易忘记。一首完整的乐曲,弹错几个音符就很刺耳。慢一些弹,虽然看上去不酷,但是完整弹下来也是一种很要的享受呀。特别是在一开始练习的时候,一定要弹得很慢,这样才能有助于正确的体会乐曲的节奏。

以后学习新曲子,一开始还是要弹慢一些,等到可以不出错了,然后再逐渐加快速度。

曲目练习的笨办法

最近在练习邓丽君的《月亮代表我的心》,曲目很简单,左手就是3度或者5度和弦伴奏,右手就是简单的旋律,但是对于我这样的初学者,左右手配合弹奏依然是巨大的挑战。特别是有一个地方,两只手的按键规律完全不同,自己觉得根本就没有可能练好。

上网找了一下,看到大家都提到一个笨办法,那就是把左右手分别练好,然后就努力合起来,一个音符一个音符的向前走。自己抱着试一试的想法,按照这种方法开始练习,一开始一个和弦弹上几百遍,然后一个简单节奏又弹上几百遍,然后又合不到一起,总是在同样的地方出错,自己弹了数个小时没有进展,而家人听着都要崩溃了。Yetao 跟她的朋友 Angelina 说爸爸弹钢琴已经让她发疯了。 可是奇迹般的,在经历了无数次失败以后,两只手仿佛不用思考,自动就能够弹出正确的音符了,自己第一次正确的弹完这一小段以后,还愣了一小会,觉得这个东西原来就这么简单吗?真是不可思议。看来笨办法总是管用的呀。

钢琴换手

自己最近在跟着几本儿童钢琴入门教材在学习钢琴,里面都是先教一些固定双手位置的简单曲目,比如 C Position,或者 G Position 等等,这样看谱弹奏倒是容易了很多,但是凡是需要稍微移动一下手才能弹奏的键(比如 双手 C Position,但是需要弹 A 或者 B )的时候,根本没有办法搞对。自己为此苦恼了相当长一段时间,最近才意识到,看谱弹奏的时候还要换手对于初学者是不可能的,正确的做法是先看谱弹奏,熟悉曲目的旋律和节奏,这期间不必要求换手的时候节奏依然流畅。等到达到记住整个曲子的程度以后,然后再脱谱弹奏,这个时候因为弹奏的时候专心看着键盘,换手就是一件轻而易举的事情了。:-)