明年不种西红柿了

家里后院有个小菜园。今年我一时兴起，种了一些西红柿。本来想着等成熟的时候，就有源源不断的西红柿可以吃。没有想到种菜比想象中麻烦多了。首先需要种菜不停的浇水，一天不浇水，西红柿就蔫儿了，我们出去旅游的那一周，还专门雇了邻居的小孩儿过来浇水。第二后院的地是新开的，底下全部都是石头。西红柿的根扎不深，叶子也就长得不旺。一个夏天过去，只是稀稀拉拉的结了一些西红柿，平时吃菜妈妈还是得去菜市场买。最后西红柿是个一年生的草本植物，明年还得重新来过一遍，买种子、秧苗、移栽都很麻烦。比起我们种的橘子树，杏树和桃树等等多年生的木本果树要麻烦多了。自己想了一下，要忙的事情还有很多，明年就不种西红柿了吧。

左手乒乓球需要的心理素质

前一阵子和教练练球，结果训练量太大，右手得了网球肘，不能外展发力了。犹豫了一阵子，就改成左手打乒乓球了。左手的球友很少，只有一个人愿意陪我稳定的练习，而且是因为他正好右手也受伤。左手练球倒是很好，也能够锻炼身体，并且让右肩、右腿等等部位的肌肉得到充分的休息：打了这么多年乒乓球下来，一休息才体会到这些部分的肌肉真的是很累啊。不过上周和一个我以前的球友打球，他用右手把我打的稀里哗啦：发个球就被直接拍回来，想到我在使用右手的时候打他还是有相当的优势，真的是很郁闷。我在想，坚持左手打球也需要很好的心理素质啊！

和 Ben 一起去买水

今天我去买水，Ben也要求同行，我们两个就高高兴兴的去了。到了卖水的机器面前，Ben 负责投币，我负责搬运。Ben总是很淘气，有很多鬼主意：机器上最大的按钮给你五加仑水，需要 $1.75。如果你投入两块钱，机器就给你一个一夸特的硬币 $0.25。我自己已经习惯了这些设定，每次都是插入两美元纸币，按下按钮，然后拿回我的硬币。Ben插入纸币的时候就问我，如果放入3块钱，那会找回5个一夸特的硬币吗？我一想这倒是一个把纸币换成硬币的好办法，只不过自己每次都来去匆匆，即使有想尝试的念头，也只是一闪而过，从来没有认真执行：万一把机器搞坏了怎么办？还是先忙正事吧。不过Ben既然有此念头，我想了一下就说那你试试吧。结果是机器根本不再接受多余的钱：如果你已经插入了两美元，无论是投入更多的硬币、或者插入更多的纸币，都会被机器自动退回。这个设计还是很聪明啊。

Yetao的新球拍

Yetao最近喜欢上打乒乓球，开始用正胶，可能是觉得击打比较舒服，后来看我和本的反胶球拍击球威力很大，就也想换个反胶。我手头只有一块 Hadraw SK 贴着快两年旧的 Tenergy 05-FX，拍子有点重，而且胶皮也老了，就给她换了一个 Joola X-Plode Sensitive，也是以击打为主。粘的时候旧板子除胶可真是费了一番功夫！

拍子粘好了： Hadraw SK + 2 * X-Plode Sensitive = 182 克

我的拍子：Timo Boll ZLF + 2 * Evolution MX-S （软胶面，硬海绵）= 192 克

Ben的拍子：Timo Boll Allround + 2 * Sapphira = 161 克

看来Ben的拍子还是最轻呀。

找教练训练了5天乒乓球接发球

最近痛感自己的乒乓球接发球太差，正好利用休假的时间安排了五天乒乓球训练，每天两小时，说说自己训练下来的感受。

  • 乒乓球接发球很难。这五天训练下来，花掉800块钱。接发球的水平远远没有达到自己想要的水平。
  • 专业强度的训练，对于业余爱好者太难。五天训练下来。我的身体都吃快吃不消了。
  • 接发球正手位比反手位难，尤其是短球。因为横版正手搓球大多不太好，但是上步用反手，对于步伐的要求又太高了。
  • 接发球不能大力出奇迹，台内短球基本上全靠手腕手指发力，否则极易接球弧线太长出界。

总的来讲，自己的下旋球接的还可以，正反手都可以搓一搓，并且能够根据顺旋转和逆旋转来调整版型。但是上旋球就难很多：反手还可以手腕发力摩擦一板，正手打的一塌糊涂，只会推送。特别的，教练说我击打的感觉很差，这说起来都有一些黑色幽默：打乒乓球这么久，结果到最后反而只会摩擦，不会打了。

error function

昨天做 《Introduction to Quantum Mechanics》上的一道题目，即归一化下面的波函数：

    \[\Psi(x, t) = A e^{-a(\dfrac{mx^2}{h} + it)}\]

搞了一会儿，才发现自己不会计算 e^{-x^2} 的不定积分：熟悉的积分计算规则全部都用不上！上网查了一会，才发现这就是大名鼎鼎的 Error Function:

    \[erf(x) = \dfrac{2}{\sqrt \pi} \int_0^{x} e^{-t^2}dt\]

它的图像是：

这是一个不能用初等解析函数表示的函数，在统计学和量子力学中有着广泛的应用。对于我上面的问题，根据归一化的基本要求我们有：

    \[\int_{-\infty}^{+\infty} |\Psi|^2 dx = A^2 \int_{-\infty}^{+\infty} e^{\dfrac{-2amx^2}{h}} dx = 1\]

如果我们假定：

    \[u = \sqrt{\dfrac{2am}{h}} \cdot x\]

那么：

    \[dx = \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{2am}{h}}} \cdot du\]

按照erf 的形式展开有：

    \[\begin{split} 1 &= \int_{-\infty}^{+\infty} |\Psi|^2 dx = A^2 \int_{-\infty}^{+\infty} e^{\dfrac{-2amx^2}{h}} dx \\ &= A^2 \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(\sqrt{\dfrac{2am}{h}} \cdot x)^2} dx \\ &= A^2 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{2am}{h}}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-u^2} du \\ &= \dfrac{\sqrt \pi}{2} A^2 \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{2am}{h}}} \cdot \dfrac{2}{\sqrt \pi} erf(u) \Biggr |_{-\infty}^{+\infty} \\ &= \dfrac{\sqrt \pi}{2} A^2 \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{2am}{h}}} \cdot 2 \end{split}\]

这样就计算出

    \[A = \sqrt \sqrt{\dfrac{2am}{h \pi}}\]

动量对于时间的导数等于势能对于距离的导数

自己最近在努力学习量子力学，看到Ehrenfest’s theorem: the expected values in Quantum Mechanics obeys the classical laws. 现在证明动量对于时间的导数等于势能对于距离的导数，即：

(1)   \begin{equation*} \dfrac{d \langle p \rangle }{dt} = \langle -\dfrac{\partial V}{\partial x} \rangle \end{equation*}

First by definition, we have:

(2)   \begin{equation*} \dfrac{d \langle p \rangle }{dt} = -ih \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{\partial}{\partial t}(\Psi^* \dfrac{\partial \Psi}{\partial x})dx \end{equation*}

(3)   \begin{equation*} \langle \dfrac{\partial V}{\partial x} \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{\partial V}{\partial x} |\Psi|^2 dx \end{equation*}

How do we proof the equality? First we notice that the norm of the wave function can be expressed the following:

(4)   \begin{equation*} |\Psi|^2 = \Psi^* \cdot \Psi \end{equation*}

so (3) can be expanded as:

    \[\label{potential} \langle \dfrac{\partial V}{\partial x} \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{\partial V}{\partial x} \Psi^* \Psi dx \end{equation}\]

With the following integration by parts technique:

(5)   \begin{equation*} \int_{a}^{b} {u \cdot \dfrac{dv}{dx}} dx = - \int_{a}^{b} {v \cdot \dfrac{du}{dx}} dx + uv \Biggr|_{a}^{b} \end{equation*}

and also notice that at -\infty and +\infty, the wave function \Psi must be zero, so (3) can be further reduced to:

(6)   \begin{equation*} \begin{split} & \langle \dfrac{\partial V}{\partial x} \rangle \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{\partial V}{\partial x} \Psi^* \Psi dx \\ &= - \int_{-\infty}^{\infty} V \dfrac{\partial (\Psi^* \Psi) }{\partial x} dx + V \Psi \Psi^* \Biggr|_{- \infty}^{\infty} \\ &= - \int_{-\infty}^{\infty} V (\Psi \dfrac{\partial \Psi^*}{\partial x} + \Psi^* \dfrac{\partial \Psi}{\partial x})dx \end{split} \end{equation*}

Where should we go from here for the proof? Notice that in (2) we still have the derivative to time, so based on the basic wave function:

    \[i h \dfrac {\partial \Psi}{\partial t} = - \dfrac{h^2}{2m} \dfrac{{\partial}^2 \Psi}{{\partial} x^2}+ V \Psi\]

we can covert the derivative of \Psi and \Psi^* to time to their derivative to space as the following:

(7)   \begin{equation*} \dfrac{\partial \Psi}{\partial t} = \dfrac{i h}{2m} \dfrac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} - \dfrac{i}{h} V \Psi \end{equation*}

(8)   \begin{equation*} \dfrac{\partial \Psi^*}{\partial t} = - \dfrac{i h}{2m} \dfrac{\partial^2 \Psi^*}{\partial x^2} + \dfrac{i}{h} V \Psi^* \end{equation*}

With these intermediate results, we can further expand the 2 as the following:

(9)   \begin{equation*} \begin{split} & \dfrac{d \langle p \rangle }{dt} \\ =& -ih \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{\partial}{\partial t}(\Psi^* \dfrac{\partial \Psi}{\partial x})dx \\ =& -ih \int_{-\infty}^{\infty} [\dfrac{\partial \Psi^*}{\partial t} \dfrac{\partial \Psi}{\partial x} + \Psi^* \dfrac{\partial}{\partial t} (\dfrac{\partial \Psi}{\partial x}) ] dx \\ =& -ih \int_{-\infty}^{\infty} [\dfrac{\partial \Psi^*}{\partial t} \dfrac{\partial \Psi}{\partial x} + \Psi^* \dfrac{\partial}{\partial x} (\dfrac{\partial \Psi}{\partial t}) ] dx \end{split} \end{equation*}

Applying integration by parts for the second term inside the integration above, and notice that the constant term is 0, we can have:

    \[\int_{-\infty}^{\infty} \Psi^* \dfrac{\partial}{\partial x} (\dfrac{\partial \Psi}{\partial t}) dx = - \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{\partial \Psi^*}{\partial x} \dfrac{\partial \Psi}{\partial t} dx\]

Replace this result to the above equation, we will continue to have:

    \[\dfrac{d \langle p \rangle }{dt} = -ih \int_{-\infty}^{\infty} [\dfrac{\partial \Psi^*}{\partial t} \dfrac{\partial \Psi}{\partial x} - \dfrac{\partial \Psi^*}{\partial x} \dfrac{\partial \Psi}{\partial t}] dx\]

Now, replace the time derivative of wave function with space derivative, and rearrange terms, we can have:

(10)   \begin{equation*} \begin{split} & \dfrac{d \langle p \rangle }{dt} \\ =& -ih \int_{-\infty}^{\infty} [\dfrac{\partial \Psi^*}{\partial t} \dfrac{\partial \Psi}{\partial x} - \dfrac{\partial \Psi^*}{\partial x} \dfrac{\partial \Psi}{\partial t}] dx \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} V \Psi^* \dfrac{\Partial \Psi}{\partial x} dx - \dfrac{h^2}{2m} \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{\partial^2 \Psi^*}{\partial x^2} \dfrac{\Partial \Psi}{\partial x} \\ &+ \int_{-\infty}^{\infty} V \Psi \dfrac{\Partial \Psi^*}{\partial x} dx - \dfrac{h^2}{2m} \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} \dfrac{\Partial \Psi^*}{\partial x} \\ &= \langle -\dfrac{\partial V}{\partial x} \rangle - \dfrac{h^2}{2m} \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{\partial^2 \Psi^*}{\partial x^2} \dfrac{\partial \Psi}{\partial x} - \dfrac{h^2}{2m} \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} \dfrac{\partial \Psi^*}{\partial x} \end{split} \end{equation*}

The last thing we need to notice is that by applying integration by parts and ignore zero constant terms, we can have:

    \[\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{\partial^2 \Psi^*}{\partial x^2} \dfrac{\partial \Psi}{\partial x} = - \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} \dfrac{\partial \Psi^*}{\partial x}\]

so the last two terms in above equation cancel each other and we prove the desired theorem:

(11)   \begin{equation*} \dfrac{d \langle p \rangle }{dt} = \langle -\dfrac{\partial V}{\partial x} \rangle \end{equation*}

 

隔壁奶奶家的桃子

隔壁奶奶的前院有一棵桃树，今年的桃结的又大又红。前几天我和太太散步路过，不由得垂诞欲滴。可是这毕竟不是自己的东西，总是不好意思直接伸手。太太看出来我的意思，笑眯眯的跟我说，她和邻家奶奶关系很好，帮我说说就行。结果当天晚上桌上就有了一大包奶奶送过来的桃子，吃得我很开心。才过了几天，今天早上奶奶又亲自登门，邀请我拿个大袋子过去再摘一些桃子，我很不好意思，又很高兴。摘桃子的时候，奶奶说起来她看到很多路过的年轻人，也不和主人打招呼动手就摘，让她不高兴。我就说那样摘桃的人也心里恐怕有些惴惴，哪里像我这样一边大大方方的摘，主人还在一遍帮忙，吃到肚子里也算是是心安理得，我们两个人就都笑起来了，真好。

教Ben打乒乓球

我很喜欢打乒乓球，觉得这项爱好有很多优点，自然也想把这项运动传给孩子们。Yetao还好，每天都能打一会儿，但是Ben不愿意和我打，我好说歹说，他就是不愿意。今天Ben邀请我一块儿玩儿 Dodge Ball，他主动开出条件可以陪我打五分钟乒乓球。打乒乓球的时候，我就故意把很多球打飞，结果Ben赢了很多球，这下子来了兴趣。打完五分钟，主动还要再打十分钟，后来干脆把闹钟停下来。打了一会儿，我说今天已经够多啦，休息一下吧。结果Ben还说今天晚些时候能不能再打一次。看来Ben好胜心很强，只要能一直赢球，他就有兴趣。这倒是一个把他引上乒乓球的好办法。想来以前我和他打的时候，总是对他教训太严，这也不对，那也不对，缺少鼓励，所以他就渐渐没了兴趣。看来真的是要因材施教啊。

今天我教他练了一会儿正手攻球和反手攻球，Yetao也跑来参与。大家玩的很开心。希望以后每天都能这样。