分离变量法求解与时间无关的薛定谔方程

假定在基本的波动方程

    \[i h \dfrac {\partial \Psi}{\partial t} = - \dfrac{h^2}{2m} \dfrac{{\partial}^2 \Psi}{{\partial} x^2}+ V \Psi\]

中势能与时间无关,也就是:

    \[V = V(x)\]

我们就可以尝试使用分离变量法求解波动方程,即假定

    \[\Psi(x, t) = \psi(x) \varphi(t)\]

这样我们就有:

    \[\dfrac{\partial \Psi}{\partial t} = \psi \dfrac{d \varphi}{dt}\]

    \[\dfrac{\partial \Psi}{\partial x} = \varphi \dfrac{d \psi}{dx}\]

注意偏微分都已经变成了常微分。

把上述微分带入到波动方程中,我们有:

    \[ih \psi \dfrac{d \varphi}{dt} = - \dfrac{h^2}{2m} \dfrac{d^2 \psi}{dx^2} \varphi +V\psi\varphi\]

两边都除以 \psi\varphi, 我们就得到了:

    \[ih \dfrac{1}{\varphi} \dfrac{d \varphi}{dt} = - \dfrac{h^2}{2m} \dfrac{d^2 \psi}{dx^2} \dfrac{1}{\psi} +V(x)\]

注意到左面是一个关于时间t的方程,右面是一个关于空间x的方程,这两边能够相等,肯定是因为它们都是常数,也就是:

    \[ih \dfrac{1}{\varphi} \dfrac{d \varphi}{dt} = E\]

    \[- \dfrac{h^2}{2m} \dfrac{d^2 \psi}{dx^2} \dfrac{1}{\psi} +V(x) = E\]

到这里已经很清楚了,\psi的形式和势能V有关,而 \varphi的形式是一定的,即:

    \[\varphi(t) = e^{-\dfrac{iEt}{h}}\]

三角形三条中线相交于一点

最近在辅导Yetao数学, 顺便温习了一下初等几何中如何证明三角形的三条中线相交于一点。自己以前没有学过这个证明,过程还挺有意思的,列在下边。

三角形ABC,假定D为BC的中点。E为AC的中点,BE和AD相交于点G。现在通过CG做一条直线,与AB相交于F。我们只要证明F是AB的中点,那么就可以证明三角形的三条中线相交于一点。假定我们用符号 S(ABC) 表示三角形 ABC 的面积,那么我们有:

  1. 因为BD等于CD
  2. S(BDA) = S(CDA)
  3. S(BDG) = S(CDG)
  4. 因为 S(BDA) = S(BDG) + S(BAG), S(CDA) = S(CDG) + S(CAG)
  5. 综合234,所以 S(BAG) = S(CAG)
  6. 按照同样的思路,我们可以得到 S(BAG) = S(BCG)
  7. 综合五和六,所以 S(BCG) = S(CAG)

下来,我们假定

    \[ AF = r \times BF \]

很明显我们有

    \[ S(AFC) = r \times S(BFC) \]

    \[ S(AFG) = r \times S(BFG) \]

因为

    \[ S(ACG) = S(AFC) - S(AFG) \]

    \[ S(BCG) = S(BFC) - S(BFG) \]

考虑到上面的等式7,代入前面各项,我们有:

    \[ r \times (S(AFC) - S(AFG)) = S(AFC) - S(AFG) \]

求解得到:

    \[ r = 1 \]

所以

    \[ AF = BF \]

问题得证。

最后提一句,这个帖子中的图是用 https://www.geogebra.org/calculator 的工具画的,用起来还挺方便的。

见贤思齐大失败

我平时为了避免干扰,手机不带在身上,只是通过网页定期检查短信和语音邮件。昨天和同事吃了一顿饭,饭桌上大家聊起生活中的很多事情,关于怎么育儿啊,怎么看待社会上发生的事情啊,个人的爱好修养啊,等等等等。我有一位同事,讲起很多事情,他的观点都深入独到,让我深为佩服,自叹不如。尤其是我觉得他对待家人极为体贴,相比之下,自己连手机都不在身上,太太有急事(比如上次在停车场车坏掉了)都找不到我,实在是让我汗颜。羞愧之余,我打算努力改进一番,就把手机找出来,带在身边,同时还跟太太讲了一番见贤思齐的大道理,太太听了也很高兴。可是自己的自制力实在太差,手机一拿在身边,就登陆到熟悉的围棋游戏网站上,开始和人下15分钟的快棋。连下了四五盘,停都停不下来,妈妈见了大为恼怒,自己也是深为惭愧。围棋这个东西,我下了大半辈子,习惯实在是根深蒂固,大脑里面的某些脑回路就像吸毒者一样肯定已经发生了永久的改变,专门为下围棋这件事情产生快乐激素。我想在戒掉围棋这件事情上,只能是如临深渊,如履薄冰,严防死守,才能勉强维持。手机一旦放在身边,随时诱惑,就像赌博或者吸毒一样,自己实在是招架不住。周六早上我还专门跑了几家商店,想要买一个只能打电话,发短信而不能上网打游戏的老头手机,结果发现,网络运营商现在很黑心,一个老头手机一个月也要40块,而且自己也不习惯带着一个手机总在身边,实在划不来。痛定思痛,得出结论,自己的自制力太差,不能随时把手机放在身边,跟太太坦白以后,还是把手机关了,束之高阁。

见贤思齐,大失败啊!

标语-少说

妈妈最近在练毛笔字,顺便给自己写了很多口号式横幅,贴在屋里很多地方当做座右铭来鼓励自己。口号拉拉杂杂有很多,我和孩子们都有些头晕目眩,也搞不清楚妈妈为什么写这么多口号。不过有一副标语,上面写着 “少说” 两个大字,就贴在饭桌正对面的墙上,我和孩子们都很喜欢,觉得这个标语写的真好。一旦妈妈唠唠叨叨,我们都受不了的时候,大家就常常指着标语,提醒妈妈,结果常常是妈妈偃旗息鼓,家里的气氛改进了很多。孩子们的中文不太好,Yetao为此还发明了一个新的说法:“说太多”,意思差不多,就是不通顺。

最近妈妈一次搞清洁的时候,把标语拿掉啦!孩子们和我都很紧张,担心妈妈的方针有所变化,不再向少说这个方向努力。不过问起妈妈,她说没有什么变化,只是把标语拿掉而已,我们都是松了一口气。又过了两天,我突然注意到,墙上就在原来的地方,又出现了一幅标语,还是写着 “少说” 两个大字。我问妈妈,这是你放回来的吗?妈妈摇摇头说不是她。这倒有点奇怪啦。结果昨天晚上Yetao跟我神秘的说:爸爸,你有没有注意到家里厨房有什么变化?我说没有,她就跟我指指墙上的字,我才明白过来原来这是Yetao专门写出来又贴上去的呀!看来孩子们真的觉得这个标语是好,而且也会给家庭做创造性的贡献啦。

测不准原理的一个简单示例

如果波函数是:

    \[\Psi = A e^{\dfrac{-amx^2}{h} - iat}\]

那么我们可以相应的推导出:

    \[E(x) =  \int_{-\infty}^{\infty} x |\Psi|^2 dx = 0\]

也就是说位置的期望是在原点。

    \[E(p) =  ih \int_{-\infty}^{\infty} \Psi^* \dfrac{\partial \Psi}{\partial x} dx = 0\]

也就是说动量的期望是零。

这两个结果本身没有什么值得特别注意的。但是当我们开始计算位置分布的方差和动量分布的方差,有趣的事情就出现了。根据定义我们有:

    \[\sigma_x^2 = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(x)) p(x) dx\]

关于方差有如下一个有趣的小定理:

    \[\sigma_x^2 = E(x^2) - {E(x)}^2\]

    \[E(x^2) =  \int_{-\infty}^{\infty} x^2 |\Psi|^2 dx = \dfrac{h}{4am}\]

我们就可以得出:

    \[\sigma_x^2 = E(x^2) - {E(x)}^2 = \dfrac{h}{4am} - 0 = \dfrac{h}{4am}\]

所以

    \[\sigma_x = \sqrt {\dfrac{h}{4am}}\]

按照同样的思路,对于动量我们有:

    \[\sigma_p^2 = E(p^2) - {E(p)}^2 = amh\]

所以

    \[\sigma_p = \sqrt {amh}\]

显而易见:

    \[\sigma_x \cdot \sigma_p = \dfrac{h}{2}\]

这个结果的物理意义是什么呢?如果动量测量的方差和位置测量的方差乘积等于一个常数(普朗克常数), 那么动量测量的越准确 (也就是方差越小), 那么位置测量将会越不准确 (也就是方差越大), 这就是量子力学中的所谓测不准原理。这个结论纯粹是波动方程本身的内禀特性, 实际上动量或者位置这些基本的物理定义对于符合波动方程的微观粒子来说本身就有很多争论。量子力学和经典力学真是完全不同。

明年不种西红柿了

家里后院有个小菜园。今年我一时兴起,种了一些西红柿。本来想着等成熟的时候,就有源源不断的西红柿可以吃。没有想到种菜比想象中麻烦多了。首先需要种菜不停的浇水,一天不浇水,西红柿就蔫儿了,我们出去旅游的那一周,还专门雇了邻居的小孩儿过来浇水。第二后院的地是新开的,底下全部都是石头。西红柿的根扎不深,叶子也就长得不旺。一个夏天过去,只是稀稀拉拉的结了一些西红柿,平时吃菜妈妈还是得去菜市场买。最后西红柿是个一年生的草本植物,明年还得重新来过一遍,买种子、秧苗、移栽都很麻烦。比起我们种的橘子树,杏树和桃树等等多年生的木本果树要麻烦多了。自己想了一下,要忙的事情还有很多,明年就不种西红柿了吧。

左手乒乓球需要的心理素质

前一阵子和教练练球,结果训练量太大,右手得了网球肘,不能外展发力了。犹豫了一阵子,就改成左手打乒乓球了。左手的球友很少,只有一个人愿意陪我稳定的练习,而且是因为他正好右手也受伤。左手练球倒是很好,也能够锻炼身体,并且让右肩、右腿等等部位的肌肉得到充分的休息:打了这么多年乒乓球下来,一休息才体会到这些部分的肌肉真的是很累啊。不过上周和一个我以前的球友打球,他用右手把我打的稀里哗啦:发个球就被直接拍回来,想到我在使用右手的时候打他还是有相当的优势,真的是很郁闷。我在想,坚持左手打球也需要很好的心理素质啊!

和 Ben 一起去买水

今天我去买水,Ben也要求同行,我们两个就高高兴兴的去了。到了卖水的机器面前,Ben 负责投币,我负责搬运。Ben总是很淘气,有很多鬼主意:机器上最大的按钮给你五加仑水,需要 $1.75。如果你投入两块钱,机器就给你一个一夸特的硬币 $0.25。我自己已经习惯了这些设定,每次都是插入两美元纸币,按下按钮,然后拿回我的硬币。Ben插入纸币的时候就问我,如果放入3块钱,那会找回5个一夸特的硬币吗?我一想这倒是一个把纸币换成硬币的好办法,只不过自己每次都来去匆匆,即使有想尝试的念头,也只是一闪而过,从来没有认真执行:万一把机器搞坏了怎么办?还是先忙正事吧。不过Ben既然有此念头,我想了一下就说那你试试吧。结果是机器根本不再接受多余的钱:如果你已经插入了两美元,无论是投入更多的硬币、或者插入更多的纸币,都会被机器自动退回。这个设计还是很聪明啊。

Yetao的新球拍

Yetao最近喜欢上打乒乓球,开始用正胶,可能是觉得击打比较舒服,后来看我和本的反胶球拍击球威力很大,就也想换个反胶。我手头只有一块 Hadraw SK 贴着快两年旧的 Tenergy 05-FX,拍子有点重,而且胶皮也老了,就给她换了一个 Joola X-Plode Sensitive,也是以击打为主。粘的时候旧板子除胶可真是费了一番功夫!

拍子粘好了: Hadraw SK + 2 * X-Plode Sensitive = 182 克

我的拍子:Timo Boll ZLF + 2 * Evolution MX-S (软胶面,硬海绵)= 192 克

Ben的拍子:Timo Boll Allround + 2 * Sapphira = 161 克

看来Ben的拍子还是最轻呀。